В технических приложениях выделяется круг задач о движении точки по заранее известной траектории (в общем – криволинейной).
В таких случаях для описания движения точки достаточно задаться лишь одной криволинейной координатой – длиной дуги s, измеряемой вдоль траектории от избранного на траектории начала M0 (рис.46).
Движение точки Mопределится законом изменения дуги как функции времени
s=s(t). (31)
Дуговая координата s точки, в общем случае, отличается от пройденного пути, который является неубывающей функцией времени (они совпадают при условии движения точки по траектории только в одну сторону).
Для определения скорости и ускорения несвободной точки напомним некоторые сведения из дифференциальной геометрии пространственных кривых.
Плоскость П1, перпендикулярная касательной τ к траектории в точке M, называется нормальной плоскостью (рис.47). Любая прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через точку M, направлена по нормали к кривой.
Касательную к траектории в точке M1, близко расположенной к точке M, обозначим τ1, а дугу MM1−Δs (см. рис.46).
Если перенести прямую τ1 параллельно самой себе в точку M, то можно провести плоскость, содержащую прямые τ и τ1; угол Δϕ между этими прямыми называется углом смежности. С уменьшением Δs до нуля эта плоскость, поворачиваясь вокруг прямой τ, приближается к некоторому предельному положению – соприкасающейся плоскости П2 (см. рис.46). Прямая, по которой пересекаются нормальная и соприкасающаяся плоскости, называется главной нормалью к кривой в точке M. Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью кривой. Плоскость П3, проходящая через касательную и бинормаль в точке М, называется спрямляющей плоскостью.
Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости образуют естественный трехгранник кривой в точке M, а оси τ,n,bявляются его осями. Единичные орты этих осей образуют ортонормированный базис локальной естественной координатной системы.