66. Колебания линейной механической системы около положения устойчивого равновесия. Динамика

Навигация

Общие замечания
Определение положения равновесия
Устойчивость положения равновесия

Общие замечания

Среди процессов как свободно протекающих в природе, так и используемых в технике, видное место занимают колебания. Научной основой решения самых разнообразных технических задач служит теория колебаний. В настоящем конспекте рассмотрены простейшие вопросы колебаний механических систем, а именно колебания линейных систем с одной и двумя степенями свободы.

Из всех разновидностей колебаний ниже обсуждаются только свободные и вынужденные.

Свободные колебания возникают в системе от начального возмущения при отсутствии других внешних воздействий. Вынужденные колебания вызываются внешним воздействием, явно зависящим только от времени и не зависящим от движений самой системы (в некоторых системах заданные внешние воздействия вызывают параметрические колебания; в настоящем конспекте их обсуждение не приводится).

Ниже рассматриваются лишь колебания линейных систем с одной и двумя степенями свободы, когда зависимость кинетической энергии от обобщенных скоростей приводится к виду

$T = \frac{a_{11}}{2} {˙ q}_{1}^{2} + a_{12} {˙ q}_{1} {˙ q}_{2} + \frac{a_{22}}{2} {˙ q}_{2}^{2}$ , (55)

а зависимость потенциальной энергии $П$ от обобщенных координат к виду

$П = \frac{c_{11}}{2} q_{1}^{2} + c_{12} q_{1} q_{2} + \frac{c_{22}}{2} q_{2}^{2}$ . (56)

Коэффициенты $a_{i j}$ обычно называют обобщенными коэффициентами инерции, а $c_{i j}$ — обобщенными коэффициентами жесткости.

Чаще всего линейными являются малые колебания систем, когда потенциальную энергию можно разложить в окрестности некоторого положения в степенной ряд

$П = П_{0} + \sum_{i = 1}^{2} (\frac{\partial П}{\partial q_{i}})_{0} q_{i} + \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} (\frac{\partial^{2} П}{\partial q_{i} \partial q_{j}})_{0} q_{i} q_{j} + . . .$ (57)

От значения $П_{0}$ дальнейшие выкладки не зависят и его можно положить равным нулю. Отсчет обобщенных координат можно вести от положения равновесия, тогда в соответствии с принципом возможных перемещений, обобщенные силы равны нулю, так как $Q_{i 0} = - (\frac{\partial П}{\partial q_{i}})_{0} = 0$ .

Тогда при $(\frac{\partial^{2} П}{\partial q_{i} \partial q_{j}})_{0} \neq 0$ и в предположении о малости колебаний, получим

$П = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} (\frac{\partial^{2} П}{\partial q_{i} \partial q_{j}})_{0} q_{i} q_{j} + . . . \approx \frac{c_{11}}{2} q_{1}^{2} + c_{12} q_{1} q_{2} + \frac{c_{22}}{2} q_{2}^{2}$ ,

где $c_{i j} = (\frac{\partial^{2} П}{\partial q_{i} \partial q_{j}})_{0}$ обобщенные коэффициенты жесткости.

Заметим, что линейными могут быть системы, совершающие не малые колебания (пример 8). С другой стороны, не всякие малые колебания системы будут линейными. На рис.19 приведены четыре примера консервативных механических систем с одной степенью свободы:

расположенный в горизонтальной плоскости стержень, имеющий возможность вращаться вокруг вертикальной оси; свободный конец стержня связан с упругим элементом, ось которого в положении равновесия перпендикулярна оси стержня;
такой же стержень, но в положении равновесия оси упругого элемента и стержня совпадают;
тяжелая материальная точка, скользящая по гладкой цилиндрической поверхности с косинусоидальным профилем;
та же точка на гладкой цилиндрической поверхности, но иного, чем в предыдущем случае, профиля (например из сопрягающихся дуг окружностей).

Малые колебания в первом и третьем примерах линейны. В двух других примерах, внешне незначительно отличающихся, добиться приведения потенциальной энергии к виду $П = \frac{1}{2} c q^{2}$ не удается даже при малых значениях обобщенных координат. Колебания в этих системах линейными не являются.

Определение положения равновесия

Выше было показано, что в положении статического равновесия все обобщенные силы должны быть равны нулю, т.е.

$Q_{i} = 0;$ $i = 1, 2, . . ., n$ , (58)

где $n$ — число степеней свободы механической системы.

Для консервативных систем эти равенства принимают вид

$\frac{\partial П}{\partial q_{i}} = 0;$ $i = 1, 2, . . ., n$ . (59)

Если обобщенные силы зависят только от обобщенных координат, то решив систему уравнений (58) либо (59) можно найти значения обобщенных координат $q_{i}^{*}$ в положении равновесия. Если в (58) либо (59) присутствуют обобщенные скорости, при решении системы уравнений их следует положить равными нулю. В некоторых случаях положение равновесия можно найти с помощью уравнений статики.

ПРИМЕР 16. Определить положения равновесия однородного стержня массой $m$ и длиной $l$ , прикрепленного к плоскости шарниром и спиральной пружиной жесткости $c$ (рис. 20). В верхнем вертикальном положении пружина не деформирована.

РЕШЕНИЕ. Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол $ϕ$ отклонения от вертикали. Запишем выражение для потенциальной энергии, как работу по переводу системы из отклоненного положения в исходное (вертикальное):
$П = - \frac{m g l}{2} (1 - cos . ϕ) + \int_{ϕ}^{0} (- c ϕ) d ϕ = \frac{m g l}{2} (cos . ϕ - 1) + \frac{c ϕ^{2}}{2}$ .
Здесь учтено, что пружина создает момент $M^{у п р} = c ϕ$ , препятствующий углу отклонения.

Составим уравнение равновесия (59)
$\frac{\partial П}{\partial ϕ} = 0 = - \frac{m g l}{2} sin . ϕ^{*} + c ϕ^{*}$ , здесь $ϕ^{*}$ — значение угла отклонения в положении равновесия.
Заметим, что это уравнение представляет собой сумму моментов действующих на стержень усилий относительно опорного шарнира.
Решение полученного трансцендентного уравнения удобно выполнить графически (рис.21), находя решение в виде точек пересечения двух функций – момента опрокидывающего, равного $M^{о п р} = \frac{m g l}{2} sin . ϕ$ и момента восстанавливающего, равного $M^{у п р} = c ϕ$ .

Анализ рисунка показывает, что при $c > \frac{m g l}{2}$ прямая $M_{1}^{у п р}$ восстанавливающего момента пересекает синусоиду опрокидывающего момента только в одной точке $ϕ^{*} = 0$ , т.е. вертикальное положение стержня является его положением равновесия. При $c = \frac{m g l}{2}$ касательная к $M^{о п р}$ совпадает с прямой $M_{2}^{у п р}$ ; это говорит о существовании в окрестности $ϕ^{*} = 0$ небольшого интервала значений углов отклонения, при которых будет иметь место равновесие стержня. В случае $c < \frac{m g l}{2}$ прямая $M_{3}^{у п р}$ пересекает синусоиду $M^{о п р}$ в нескольких точках, что говорит о наличии у рассматриваемой механической системы нескольких положений равновесия.

ПРИМЕР 17. Механическая система, изображенная на рисунке 22 и описанная в примере 7, находится в положении статического равновесия. Зная жесткость пружины $c$ , веса груза и колеса, а так же и радиусы блоков, определить удлинение пружины.

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы. Заменим действие пружины силой упругости $F_{у} = c Δ$ , где $Δ$ — удлинение пружины в положении статического равновесия механической системы. Сила со стороны демпфера ${\to F}_{с о п р}$ , пропорциональная скорости движения его поршня, при покое системы отсутствует.
Дадим системе возможное перемещение и запишем выражение для суммы работ всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения; сумму приравняем к нулю и вынесем $δ s_{1}$ за общую скобку. Тогда
$δ A = P_{1} δ s_{1} - F_{у п р} δ s_{1} - P_{3} sin . α δ s_{3} = . = δ s_{1} (P_{1} - c Δ - P_{3} sin . α \frac{δ s_{3}}{δ s_{1}}) = 0$ .
Заметим, что в круглых скобках записано выражение обобщенной силы, соответствующей обобщенной координате $s_{1}$ .
При получении выражения учтено, что элементарная работа силы ${\to F}_{c}$ равна нулю, так как сила приложена в мгновенном центре скоростей колеса 3.
Запишем уравнения связей, используя соотношения кинематики:
$V_{1} = ω_{2} \cdot R$ ;
$ω_{2} \cdot r = ω_{3} 2 r_{3}$ ;
$V_{3} = ω_{3} \cdot r_{3}$ .
Для рассматриваемой механической системы возможные перемещения пропорциональны соответствующим скоростям, т.е.
$\frac{δ ϕ_{2}}{δ s_{1}} = \frac{ω_{2}}{V_{1}} = \frac{1}{R}$ ; $\frac{δ ϕ_{2}}{δ ϕ_{3}} = \frac{ω_{2}}{ω_{3}} = \frac{2 r_{3}}{r};$ $\frac{δ ϕ_{3}}{δ s_{3}} = \frac{ω_{3}}{V_{3}} = \frac{1}{r_{3}}$ .
Приравняв нулю выражение в круглых скобках, получим выражение для расчета статического удлинения пружины : $Δ = \frac{2 R P_{1} - r P_{3} sin . α}{2 c R}$

Устойчивость положения равновесия

Выведем механическую систему из положения равновесия, произвольным образом сообщив ее обобщенным координатам и обобщенным скоростям небольшие по модулю значения.

Если при дальнейшем движении системы обобщенные координаты и их скорости будут оставаться по модулю малыми величинами (т.е. система не будет далеко отклоняться от положения равновесия), то рассматриваемое положение будет устойчивым, в противном случае – неустойчивым [1]. Это определение не является математически точным, но оно достаточно широко применяется в механике (строгое определение устойчивости движения впервые дано А.М.Ляпуновым).

Приведем без вывода теорему Лагранжа – Дирихле: если в положении равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво [1].

Так система с одной степенью свободы имеет минимум потенциальной энергии при условии

$c_{1} = (\frac{\partial^{2} П}{\partial q^{2}})_{0} > 0$ . (60)

Для консервативной системы с 2-мя степенями свободы устойчивость рассматриваемого положения равновесия так же определяется из условия минимума потенциальной энергии

Если вблизи положения равновесия квадратичная форма (61) определенно положительна, то потенциальная энергия в этом положении должна иметь минимум, и, как следствие, это положение должно быть устойчивым.

На вопрос о знаке любой квадратичной формы отвечает теорема Сильвестра: для того, чтобы квадратичная форма была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы были положительны (с доказательством этой теоремы можно ознакомиться в курсах линейной алгебры).

Матрица квадратичной формы (61) и ее главные диагональные миноры $Δ_{1}$ и $Δ_{2}$ имеют вид

${\begin{matrix} c_{11} & c_{12} c_{21} & c_{22} \end{matrix}}$ ; $Δ_{1} = c_{11};$ $Δ_{2} = ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} c_{11} & c_{12} c_{21} & c_{22} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = c_{11} c_{22} - c_{12}^{2}$ ;

Таким образом, критерий определенной положительности квадратичной формы (61) будет

$Δ_{1} = c_{11} > 0$ ; $Δ_{2} = c_{11} c_{22} - c_{12}^{2} > 0$ . (62)

Итак, порядок действий по оценке устойчивости найденного положения равновесия для систем с любым числом степеней свободы следующий: разлагаем функцию потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат, ограничиваясь членами второго порядка малости; из обобщенных коэффициентов жесткости составляем матрицу; вычисляем величины всех ее главных диагональных миноров. Если они все положительны, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво.

Отметим, что теорема Лагранжа – Дирихле не отвечает на вопрос, будет ли неустойчивым положение равновесия в случае отсутствия в нем минимума потенциальной энергии. Для одного частного случая на этот вопрос отвечает следующая теорема Ляпунова: равновесие консервативной системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии определяется членами второго порядка малости в ее разложении в ряд по степеням обобщенных координат.

ПРИМЕР 18. Найти условие, при котором вертикальное положение стержня из примера 16 будет устойчиво.

РЕШЕНИЕ. Разложим функцию потенциальной энергии в ряд по степеням $ϕ$
$П = - \frac{m g l}{2} (1 - cos . ϕ) + \frac{c ϕ^{2}}{2} \approx . \approx - \frac{m g l}{2} (1 - 1 + \frac{ϕ^{2}}{2}) + \frac{c ϕ^{2}}{2} = \frac{ϕ^{2}}{2} (c - \frac{m g l}{2})$
По условию (60) вертикальное положение стержня будет устойчиво, если будет положителен обобщенный коэффициент жесткости; последнее утверждение будет справедливо при условии $c > \frac{m g l}{2}$ , что соответствует случаю $M_{1}^{у п р}$ на рис.21.
Теперь выполним анализ вертикального положения равновесия сопоставлением величин опрокидывающего и восстанавливающего моментов.
В случае, когда $M^{у п р} = M_{1}^{у п р}$ , дадим стержню небольшое отклонение $Δ ϕ$ вправо от вертикального положения равновесия, после чего внешнее воздействие прекратим. Из рисунка 21 видно, что в этом случае $M_{1}^{у п р} > M^{о п р}$ , и стержень будет возвращаться в исходное положение. Если дать стержню небольшое отклонение $Δ ϕ$ влево, то $M_{1}^{у п р} < M^{о п р}$ , и стержень будет снова возвращен в исходное положение. Вывод – в случае, когда $M^{у п р} = M_{1}^{у п р}$ вертикальное положение стержня – устойчивое.
Рассуждая аналогично, нетрудно понять, что в случае, когда $M^{у п р} = M_{2}^{у п р}$ , положение стержня оказывается безразличным, так как при небольшом отклонении $Δ ϕ$ влево или вправо имеет место равенство $M_{2}^{у п р} = M^{о п р}$ (при увеличении значения $Δ ϕ$ равенство нарушается).
В случае, когда $M^{у п р} = M_{3}^{у п р}$ вертикальное положение стержня оказывается неустойчивым, так как небольшое отклонение $Δ ϕ$ приводит к возрастанию отклонения, так как в этом случае $M_{3}^{у п р} < M^{о п р}$ (см. рис.21). Возрастание отклонения будет продолжаться, пока отклонение стержня не достигнет величины $ϕ^{* *}$ (следующее положение равновесия). Анализ графиков моментов показывает, что при дальнейшем отклонении от нового положения равновесия вправо на небольшую величину $Δ ϕ$ имеет место неравенство $M_{3}^{у п р} > M^{о п р}$ , что свидетельствует о стремлении стержня вернуться в пройденное положение равновесия. При отклонении от нового положения равновесия влево на небольшую величину $Δ ϕ$ имеет место неравенство $M_{3}^{у п р} < M^{о п р}$ , что свидетельствует о стремлении стержня увеличить угол отклонения до величины $ϕ^{* *}$ . На основании анализа можно сделать вывод, что в случае, когда $M^{у п р} = M_{3}^{у п р}$ положение равновесия $ϕ^{* *}$ будет устойчивым, а вертикальное положение ( $ϕ^{*} = 0$ ) — неустойчивым.

ПРИМЕР 19. Для механической системы, изображенной на рис.2.2, найти условие, при котором найденное положение статического равновесия будет устойчивым.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся результатами решения примера 17:
$П = - P_{1} s_{1} + \frac{c}{2} (s_{1} + Δ)^{2} + P_{3} s_{1} \frac{r}{2 R} sin . α$ .
В положении статического равновесия (при $s_{1} = 0$ ) $П_{0} = \frac{c}{2} Δ^{2}$ , а обобщенна сила должна быть равна нулю, то есть
$Q = - \frac{\partial П}{\partial s_{1}} = P_{1} - c Δ - P_{3} \frac{r}{2 R} sin . α = 0$ .
Тогда квадратичная форма для потенциальной энергии будет $П = \frac{c}{2} s_{1}^{2}$ . Она определенно положительна при $c > 0$ , что является условием устойчивости найденного положения равновесия.