Задача 28. При каком минимальном значении скорости тяжелый шарик пройдет высшую точку петли радиуса R, не отрываясь от нее?

Задача 28. При каком минимальном значении скорости тяжелый шарик пройдет высшую точку петли радиуса R, не отрываясь от нее (рис.6.1)? Петля расположена в вертикальной плоскости.

Рис.6.1

Решение. Будем считать шарик материальной точкой в промежуточном положении на его траектории. Приложим к шарику силу тяжести mg, нормальную реакцию петли $\stackrel{-}{N}$, касательную и нормальную силы инерции ${\stackrel{-}{Ф}}_{\tau }$, ${\stackrel{-}{Ф}}_n$.

Согласно принципу Даламбера для точки получим уравновешенную в любой момент времени систему сил

$\left(m\stackrel{-}{g},\stackrel{-}{N},{\stackrel{-}{Ф}}_{\tau },{\stackrel{-}{Ф}}_n\right)=0.$

Проектируя эту систему сил на главную нормаль Mn получим

$mgsin\psi +N-{Ф}_n=0.$

где Ф_n = ma_n, а_n = v²/R — нормальное ускорение шарика, (v— скорость шарика).

По условию задачи при ψ= 90° нормальная реакция в верхней точке петли N= 0, то есть

$N={Ф}_n-mgsin\psi =0;sin\psi =sin90°=1;$

Отсюда

$m\left(\frac{v^2}{R}\right)-mg=0$

Скорость шарика

$v=\sqrt{gR}.$