Задача 53. На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины l, масса которого в n раз больше массы шайбы

Задача 53. На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины l, масса которого в n раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили скорость v — в горизонтальном направлении перпендикулярно к стержню, после чего она испытала упругое соударение с концом стержня. Найти скорость шайбы и угловую скорость стержня после столкновения. При каком значении n скорость шайбы после столкновения будет равна нулю; изменит направление на противоположное?

Решение. Обозначим массу шайбы через m₁, массу стержня — m₂. Согласно условию m₂ = nm₁. Рассмотрим процесс упругого удара, в результате которого стержень приводится в движение. Это движение можно рассматривать как наложение двух простых видов: поступательного со скоростью центра масс стержня v₂ и вращательного с угловой скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс.

На систему тел “шайба + стержень” действуют силы тяжести и нормального давления со стороны горизонтальной поверхности. Эти силы направлены вертикально в противоположные стороны и уравновешивают друг друга. Силами трения согласно условию задачи можно пренебречь. Во время столкновения на каждое тело системы действует упругая сила, являющаяся внутренней.

Изменение импульса и момента импульса обусловлено только внешними силами. Равнодействующая внешних сил тяжести и нормального давления равна нулю, поэтому для системы тел выполняется закон сохранения импульса

$m_{1}v=m_1{v}_{1x}+m_2{v}_2,\left(1\right)$

где v_1x — проекция скорости шайбы после удара на направление ее первоначального движения.

Суммарный момент двух противоположно направленных сил, одинаковых по абсолютному значению и приложенных в одной точке, относительно любого центра или любой оси равен нулю. Следовательно, для рассматриваемой системы тел выполняется закон сохранения момента импульса

$m_{1}v\frac{l}{2}=m_1{v}_{1x}\frac{l}{2}+J\omega ,\left(2\right)$

где J — момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр, $J=\frac{1}{12}{m}_2{l}^2.$

При абсолютно упругом ударе диссипативных процессов не происходит, и имеет место закон сохранения энергии

$\frac{m_1{v}^2}{2}=\frac{m_1{v}_{1x}^2}{2}+\frac{m_2{v}_2^2}{2}+\frac{J{\omega }^2}{2}.\left(3\right)$

Разрешим систему уравнений (1)-(3) относительно неизвестных v_1x, v₂ и ω. С учетом выражения для момента инерции стержня и соотношения между массами шайбы и стержня приведем ее к виду

$v=v_{1x}+n{v}_2,\left(4\right)$

$v=v_{1x}+\frac{1}{6}nl\omega ,\left(5\right)$

$v^2=v_{1x}^2+n{v}_2^2+\frac{1}{12}n{l}^2{\omega }^2.\left(6\right)$

Из уравнения (5) выразим проекцию скорости шайбы через угловую скорость

$v_{1x}=v-\frac{1}{6}nl\omega ,$

из сравнения уравнений (4) и (5) найдем скорость центра масс стержня как функцию ω

$v_2=\frac{1}{6}l\omega .$

Подставляя полученные выражения в уравнение (6) и разрешая его относительно ω, находим угловую скорость стержня

$\omega =\frac{12v}{l(4+n)}$

и проекцию скорости шайбы

$v_{1x}=v\frac{4-n}{4+n}.$

Нетрудно видеть, что при n = 4 скорость шайбы будет равна нулю (v_1x=0), при n > 4 шайба изменит направление движения на противоположное (v_1x<0).