Задача 55. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси. Положительные углы поворота отсчитываются по часовой стрелке. На рис.47 приведен график зависимости углового ускорения ε от времени t.
1) Укажите направление вращения через 2, 3, 4, 5, и 6 секунд после начала движения; 2) Сравните значения кинетической энергии в моменты времени 1 с и 4 с.
Рис.47
Решение. Направление вращения определяется знаком угловой скорости: если 
, тело вращается по часовой стрелке, при 
— против часовой стрелки.
Изобразим схематически ход решения задачи.
Выпишем формулы, соответствующие каждому переходу и проанализируем их.
1. Запишем определение углового ускорения: ε=dω/dt и выразим изменение угловой скорости за бесконечно малый промежуток времени dt: dω=εdt (рис.48). Геометрически dω выражается площадью прямоугольника высотой ε и шириной dt.
Рис.48
Проинтегрируем это выражение:
ω2∫ω1dω=t2∫t1εdt или ω2−ω1=t2∫t1εdt.
Геометрически интеграл можно интерпретировать как площадь. При этом следует иметь в виду, что на участках, где ε>0, интеграл, а следовательно, и приращение угловой скорости положительны, где ε<0 — отрицательны.
По условию задачи в начальный момент времени угловая скорость равнялась нулю, следовательно, зависимость угловой скорости от времени можно представить в виде
ω⎛⎜⎝t⎞⎟⎠=t∫0εdt.
Вычислим геометрически значения угловой скорости в указанные моменты времени, их значения для каждого состояния указаны на соответствующем рисунке (рис.49).
2. Кинетическая энергия вращательного движения рассчитывается по формуле: Wk=Jω22, где J — момент инерции. Для указанных состояний кинетическая энергия принимает значения Wk1=J∙222=2J, Wk4=J∙(−4)22=8J. Видно, что Wk4>Wk1 в 4 раза.
Рис.49