Задача 48. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R

Задача 48. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол φ, соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость в момент отрыва (рис.34).

...

Рис.34
Решение. Тело А перемещается из состояния I в состояние II под действием двух сил — силы тяжести mg и силы нормального давления N (рис.35). Поскольку характер сил известен, можно решить задачу динамическим способом — применить второй закон Ньютона. С другой стороны, поскольку сила тяжести потенциальная, а сила нормального давления работы не совершает, энергия тела не изменяется, то есть можно воспользоваться законом сохранения энергии.

..........

Рис.35

Рассмотрим оба способа решения задачи.

Динамический способ

По второму закону Ньютона

$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+N.$

Спроектируем это векторное уравнение на нормальное и тангенциальное направления

$m{a}_n=mgcos\phi +N,\left(1\right)$

$m{a}_{\tau }=mgsin\phi .\left(2\right)$

Учитывая, что $a_n={\omega }^{2}R,a_{\tau }=\epsilon R,$ где ω — угловая скорость, ε — угловое ускорение, перепишем уравнения (1) — (2) в виде:

$m{\omega }^{2}R=mgcos\phi +N,\left(3\right)$

$m\epsilon R=mgsin\phi ,$

Откуда

$\epsilon =\frac{g}{R}sin\phi ,\left(4\right)$

то есть получена зависимость углового ускорения ε от угла φ. Далее следует решить кинематическую задачу по преобразованию уравнений третьего класса. Дополним уравнение (4) соотношениями

$\omega =\frac{d\phi }{dt},\left(5\right)$

$\epsilon =\frac{d\omega }{dt}.\left(6\right)$

Из формулы (5) выразим $dt=\frac{d\phi }{\omega }$ и подставим в выражение (6), которое, в свою очередь, подставим в уравнение (4):

$\frac{d\omega }{\frac{d\phi }{\omega }}=\frac{g}{R}sin\phi .$

Из последнего выражения следует, что

$\omega d\omega =\frac{g}{R}sin\phi d\phi .$

Интегрирование уравнения

$\underset{0}{\overset{\omega }{\int }}\omega d\omega =\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{g}{R}sin\phi d\phi ,$

приводит к следующему выражению:

$\frac{{\omega }^2}{2}=\frac{g}{R}(1-cos\phi ).$

Подставим ${\omega }^{2}R=2g(1-cos\phi )$ в уравнение (3), которое с учетом, что при отрыве сила нормального давления N=0, примет вид ${\omega }^{2}R=gcos\phi$:

$2g(1-cos\phi )=gcos\phi .$

Из последнего уравнения получим

$cos\phi =\frac{2}{3}.$

Выражение для угловой скорости в момент отрыва тела от поверхности сферы примет вид

$\omega =\sqrt{\frac{gcos\phi }{R}}=\sqrt{\frac{2g}{3R}},$

а для линейной скорости –

$v=\omega R=\sqrt{\frac{2gR}{3}}.$

Сочетание энергетического и динамического подходов

Применим закон сохранения энергии. В состоянии I тело обладает потенциальной энергией

$W_I=W_p=mgh=mgR(1-cos\phi ),$

в состоянии II – кинетической

$W_{II}=W_k=\frac{m{v}^2}{2}.$

Поскольку $W_I=W_{II}$, то

$mgR(1-cos\phi )=\frac{m{v}^2}{2},$

или

$v^2=2gR(1-cos\phi ).\left(7\right)$

Нормальное ускорение можно выразить через линейную скорость как $a_n=\frac{v^2}{R}.$ Тогда второй закон Ньютона в проекции на направление нормали для состояния II примет вид $m\frac{v^2}{R}=mgcos\phi$, или

$v^2=gRcos\phi .\left(8\right)$

Приравнивая выражения (7) и (8), $2gR(1-cos\phi )=gRcos\phi$, приходим к полученному ранее выражению $cos\phi =\frac{2}{3}.$ Видно, что применение закона сохранения энергии целесообразнее решения уравнения (2).