Задача 52. Тело массы m1 = 1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы m2 = 5 кг. Высота горки H = 1,2 м.

Задача 52. Тело массы m1 = 1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы m2 = 5 кг. Высота горки H = 1,2 м. Трение между столом, горкой и телом отсутствует. Найти конечные скорости тела и горки. Начальная скорость тела v0 = 5 м/с.

Решение. Из условия задачи неясно, перевалило тело горку или, поднявшись на некоторую высоту, скатилось назад. Поэтому сформулируем и решим вспомогательную задачу: определим максимальную высоту h, на которую тело может подняться. Если h<H, то тело скатывается назад, при h>H — переваливает через горку.

При отсутствии трения полная механическая энергия системы “горка + тело” сохраняется, поскольку сила реакции со стороны стола направлена вертикально, и ее работа равна нулю. В начальном состоянии I горка неподвижна (рис.44), движется только тело со скоростью v0, его кинетическая энергия равна Wk=m1v202... Будем считать потенциальную энергию системы в рассматриваемом состоянии равной нулю. Тогда полная механическая энергия системы равна кинетической энергии тела:

WI=m1v202...

Рис.44

Когда тело въезжает на горку, его скорость уменьшается, а скорость горки возрастает. В момент, когда тело достигает максимальной высоты подъема h (состояние II) (рис.45), оно движется вместе с горкой с некоторой скоростью v, кинетическая энергия системы равна WkII=(m1+m2)v22... Учитывая, что тело массы m1 приобретает потенциальную энергию WpII=m1gh, запишем выражение для полной энергии в этом состоянии:

WII=(m1+m2)v22..+m1gh.

Рис.45

Согласно закону сохранения механической энергии WI=WII имеем

m1v202..=(m1+m2)v22..+m1gh.                       (1)

Это уравнение содержит две неизвестные величины v и h. Необходимо составить еще одно уравнение.

Внешние силы, действующие на тело и горку (силы тяжести и сила реакции стола) направлены вертикально. Импульс системы как в первом состоянии pI=m1v0, так и во втором – pII=(m1+m2)v, направлен горизонтально, внешние силы в этом направлении не действуют. Следовательно, импульс системы сохраняется, то есть pI=pII, или

m1v0=(m1+m2)v.                                        (2)  

Полученную систему уравнений легко разрешить. Из уравнения (2) выразим скорость v=m1v0m1+m2.. и подставим в уравнение (1):

m1v202..=m1+m22..(m1v0m1+m2..)2+m1gh.

Найдем максимальную высоту подъема тела:

h=m2v02g(m1+m2)..=1,04 м.

Таким образом, тело, поднявшись на высоту h<H, не перевалило горку, а скатилось назад.

Обозначим конечные скорости тела и горки через v1 и v2. Рассмотрим состояния I и III (рис.46) и применим законы сохранения энергии и импульса:

m1v202..=m1v212..+m2v222..,                                         (3)

m1v0=m1v1+m2v2.                                          (4)

Рис.46

Система уравнений (3) — (4) является замкнутой, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Выразим v2 из уравнения (4)

v2=m1(v0v1)m2..

и подставим в уравнение (3). В результате получится квадратное уравнение относительно v1:

(m1+m2)v212m1v0v1m1v202..+(m1m2)v20=0,

Откуда

v1=m1v0±(m1v0)2(m21m22)v20m1+m2..=m1±m2m1+m2..v0,

v2=m1(v0v1)m2..=v0m1m2..(1m1±m2m1+m2..)=v0m1m2..m2m2m1+m2...

Видно, что система уравнений имеет два решения.

1.  v1=m1m2m1+m2..v0=103..  м/c,

v2=v0m1m2..2m2m1+m2..=53..  м/с.

2.  v1=m1+m2m1+m2..v0=v0=5  м/c,

v2=v0m1m2..m2m2m1+m2..=0.

Первое решение соответствует рассматриваемому случаю (поэтому скорость тела v1 получилась отрицательной). Второе решение описывает ситуацию, когда тело перевалило через горку и продолжает двигаться в том же направлении с прежней скоростью v0, а горка осталась неподвижной.

Оцените
Добавить комментарий