Задача 52. Тело массы m1 = 1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы m2 = 5 кг.

Задача 52. Тело массы m1 = 1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы m2 = 5 кг. Высота горки H = 1,2 м.

Автор admin На чтение 5 мин Просмотров 5.7к.

Задача 52. Тело массы m₁ = 1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы m₂ = 5 кг. Высота горки H = 1,2 м. Трение между столом, горкой и телом отсутствует. Найти конечные скорости тела и горки. Начальная скорость тела v₀ = 5 м/с.

Решение. Из условия задачи неясно, перевалило тело горку или, поднявшись на некоторую высоту, скатилось назад. Поэтому сформулируем и решим вспомогательную задачу: определим максимальную высоту h, на которую тело может подняться. Если h<H, то тело скатывается назад, при h>H — переваливает через горку.

При отсутствии трения полная механическая энергия системы “горка + тело” сохраняется, поскольку сила реакции со стороны стола направлена вертикально, и ее работа равна нулю. В начальном состоянии I горка неподвижна (рис.44), движется только тело со скоростью v₀, его кинетическая энергия равна $W_{k} = \frac{m_{1} v_{0}^{2}}{2} .$ Будем считать потенциальную энергию системы в рассматриваемом состоянии равной нулю. Тогда полная механическая энергия системы равна кинетической энергии тела:

$W_{I} = \frac{m_{1} v_{0}^{2}}{2} .$

Рис.44

Когда тело въезжает на горку, его скорость уменьшается, а скорость горки возрастает. В момент, когда тело достигает максимальной высоты подъема h (состояние II) (рис.45), оно движется вместе с горкой с некоторой скоростью v, кинетическая энергия системы равна $W_{k I I} = \frac{(m_{1} + m_{2}) v^{2}}{2} .$ Учитывая, что тело массы m₁ приобретает потенциальную энергию $W_{p I I} = m_{1} g h,$ запишем выражение для полной энергии в этом состоянии:

$W_{I I} = \frac{(m_{1} + m_{2}) v^{2}}{2} + m_{1} g h .$

Рис.45

Согласно закону сохранения механической энергии W_I=W_II имеем

$\frac{m_{1} v_{0}^{2}}{2} = \frac{(m_{1} + m_{2}) v^{2}}{2} + m_{1} g h . (1)$

Это уравнение содержит две неизвестные величины v и h. Необходимо составить еще одно уравнение.

Внешние силы, действующие на тело и горку (силы тяжести и сила реакции стола) направлены вертикально. Импульс системы как в первом состоянии p_I=m₁v₀, так и во втором – p_II=(m₁+m₂)v, направлен горизонтально, внешние силы в этом направлении не действуют. Следовательно, импульс системы сохраняется, то есть p_I=p_II, или

$m_{1} v_{0} = (m_{1} + m_{2}) v . (2)$

Полученную систему уравнений легко разрешить. Из уравнения (2) выразим скорость $v = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}$ и подставим в уравнение (1):

$\frac{m_{1} v_{0}^{2}}{2} = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} ∙ {(\frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}})}^{2} + m_{1} g h .$

Найдем максимальную высоту подъема тела:

$h = \frac{m_{2} v_{0}}{2 g (m_{1} + m_{2})} = 1, 04 м .$

Таким образом, тело, поднявшись на высоту h<H, не перевалило горку, а скатилось назад.

Обозначим конечные скорости тела и горки через v₁ и v₂. Рассмотрим состояния I и III (рис.46) и применим законы сохранения энергии и импульса:

$\frac{m_{1} v_{0}^{2}}{2} = \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2}, (3)$

$m_{1} v_{0} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} . (4)$

Рис.46

Система уравнений (3) — (4) является замкнутой, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Выразим v₂ из уравнения (4)

$v_{2} = \frac{m_{1} (v_{0} - v_{1})}{m_{2}}$

и подставим в уравнение (3). В результате получится квадратное уравнение относительно v₁:

$(m_{1} + m_{2}) v_{1}^{2} - 2 m_{1} v_{0} v_{1} \frac{m_{1} v_{0}^{2}}{2} + (m_{1} - m_{2}) v_{0}^{2} = 0,$

Откуда

$v_{1} = \frac{m_{1} v_{0} \pm \sqrt{{(m_{1} v_{0})}^{2} - (m_{1}^{2} - m_{2}^{2}) v_{0}^{2}}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} \pm m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0},$

$v_{2} = \frac{m_{1} (v_{0} - v_{1})}{m_{2}} = v_{0} \frac{m_{1}}{m_{2}} (1 - \frac{m_{1} \pm m_{2}}{m_{1} + m_{2}}) = v_{0} \frac{m_{1}}{m_{2}} ∙ \frac{m_{2} \mp m_{2}}{m_{1} + m_{2}} .$

Видно, что система уравнений имеет два решения.

$1 . v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = - \frac{10}{3} м / c,$

$v_{2} = v_{0} \frac{m_{1}}{m_{2}} ∙ \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{5}{3} м / с .$

$2 . v_{1} = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} = v_{0} = 5 м / c,$

$v_{2} = v_{0} \frac{m_{1}}{m_{2}} ∙ \frac{m_{2} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = 0 .$

Первое решение соответствует рассматриваемому случаю (поэтому скорость тела v₁ получилась отрицательной). Второе решение описывает ситуацию, когда тело перевалило через горку и продолжает двигаться в том же направлении с прежней скоростью v₀, а горка осталась неподвижной.