Задача 51. Плоскую спираль из жесткой гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси О

Задача 51. Плоскую спираль из жесткой гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис.42). По спирали без трения скользит небольшая муфта массой m. Найти ее скорость относительно спирали v’ как функцию расстояния r от оси вращения, если муфта начала двигаться от этой оси со скоростью v0.

Рис.42

Решение. В условии задачи как известная величина (v0), так и искомая (v’) заданы в системе отсчета, связанной со спиралью. На муфту действуют реальные силы тяжести mg и реакции со стороны спирали N. Силой трения пренебрегаем, так как проволока гладкая. Поскольку муфта движется относительно вращающейся системы отсчета, в перечень сил следует включить как центробежную силу Fцб, так и кориолисову силу инерции Fкор. Выражения для сил инерции имеют вид

Fцб=mω2r,        Fкор=2m[v, ω].

Центробежная сила направлена от оси вращения, кориолисова сила согласно правилу векторного произведения направлена перпендикулярно векторам v и ω (рис.43).

Рис.43

Сила тяжести, сила реакции спирали и кориолисова сила работы не совершают, так как они перпендикулярны к направлению перемещения. Поэтому изменение кинетической энергии муфты происходит только за счет работы центробежной силы

WIIWI=Aцб.                                         (1)

Выражения для кинетической энергии в состояниях, о которых говорится в условии задачи, имеют вид

WI=mv202..,      WII=mv22...

Получим выражение для работы центробежной силы. При перемещении на расстояние ds совершается элементарная работа dAцб=Fцбdscosα, где α — угол между векторами силы и перемещения. Проекция вектора перемещения на направление вектора силы равна dr=dscosα. Поэтому с учетом выражения для центробежной силы получаем элементарную работу dAцб=Fцбdr=mω2rdr. После интегрирования находим выражение для полной работы

Aцб=r0mω2rdr=mω2r22...

Подставляя выражения для кинетической энергии и работы в формулу (1)

mv22..mv202..=mω2r22..,

находим скорость муфты относительно спирали как функцию расстояния от оси вращения:

v=v20+ω2r2.

Оцените
Добавить комментарий