Задача 29. Однородный стержень АВ длиной l и массой т, закрепленный шарнирно на валу OO1 вращается вокруг оси Оу с постоянной угловой скоростью ω

Задача 29. Однородный стержень АВ длиной l и массой т, закрепленный шарнирно на валу OO₁ вращается вокруг оси Оу с постоянной угловой скоростью ω (рис.6.2). Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги BD. Найти реакции шарниров А и В.

Рис.6.2

Решение. Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к стержню силу тяжести mg, составляющие реакции ${\stackrel{-}{X}}_A$ и ${\stackrel{-}{Y}}_A$ шарнира А вдоль осей координат, реакцию ${\stackrel{-}{X}}_B$ шарнира В (рис.6.3).

Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной силой инерции ${\stackrel{-}{R}}_n^{Ф}$, приложенной в точке К, причем ${\stackrel{-}{R}}_n^{Ф}=m{a}_c^2=\frac{1}{2}m{\omega }^{2}lsin\alpha .$

Рис.6.3

Получена уравновешенная в любой момент времени система сил

$\left(m\stackrel{-}{g},{\stackrel{-}{X}}_A,{\stackrel{-}{Y}}_A,{\stackrel{-}{X}}_A,{\stackrel{-}{R}}_n^{Ф}\right)=0,$

где $a_c^2=\frac{1}{2}{\omega }^{2}lsin\alpha$— нормальное ускорение центра масс стержня (точки С); АС= СВ.

Условия мгновенного динамического равновесия стержня имеют вид

$X_A-X_B+R_n^{Ф}=0;$

$Y_A-mg=0;$

$X_{B}lcos\alpha -R_n^{Ф}\left(\frac{2}{3}lcos\alpha \right)-mg\left(\frac{1}{2}lsin\alpha \right).$

Из составленной системы уравнений с учетом значения силы ${\stackrel{-}{R}}_n^{Ф}$ последовательно находим

$X_B=\frac{1}{2}mgtg\alpha +\frac{1}{3}m{\omega }^{2}lsin\alpha ;$

$Y_A=mg;$

$X_A=\frac{1}{2}mgtg\alpha -\frac{1}{6}m{\omega }^{2}lsin\alpha .$