Задача 32. Однородный круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости. Цилиндр совершает плоскопараллельное движение.

Задача 32. Однородный круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости (рис.12). Цилиндр совершает плоскопараллельное движение.

Рис.12

Решение. Так как $a=C{C}_v=r=const$ и, значит, $\dot{a}=0$ составим дифференциальное уравнение вращения относительно оси $C_v,$ проходящей через мгновенный центр скоростей.

Момент инерции цилиндра относительно оси $C_v$

$J_{C_v}=J_C+M{a}^2=\frac{1}{2}\frac{P}{g}{r}^2+\frac{P}{g}{r}^2=\frac{3}{2}\frac{P}{g}{r}^2.$

Поэтому уравнение получится таким

$\frac{3}{2}\frac{P}{g}{r}^2\ddot{\phi }=-Prsin\alpha или\epsilon =\ddot{\phi }=-\frac{2}{3}\frac{g}{r}sin\alpha .$

Знак (–) указывает на направление углового ускорения – по часовой стрелке.

Обратим внимание на то, что реакции не вошли в уравнение.

Чтобы определить реакцию F_тр, составим еще одно дифференциальное уравнение вращения, относительно центральной оси С :

$\frac{1}{2}\frac{P}{g}{r}^2\ddot{\phi }=-F_{тр}r.$

Отсюда $F_{тр}=-\frac{1}{2}\frac{P}{g}r\ddot{\phi }=\frac{1}{2}\frac{P}{g}r\bullet \frac{2}{3}\frac{g}{r}\sin .\alpha =\frac{1}{3}Psin\alpha .$

Конечно, $N=Pcos\alpha$. Чтобы тело катилось без скольжения должно выполняться условие $F_{тр}<fN$ или $\frac{1}{3}Psin\alpha <fPcos\alpha$. Поэтому коэффициент трения скольжения должен удовлетворять условию $f>\frac{1}{3}tg\alpha$.