Задача 34. Тело, имеющее форму половины кругового цилиндра, катается по горизонтальной плоскости без скольжения

Задача 34. Тело, имеющее форму половины кругового цилиндра, катается по горизонтальной плоскости без скольжения (рис.14). Вес его – Р. Положение центра тяжести определяется расстоянием $OC=e=\frac{4}{3}\frac{r}{\pi }$, момент инерции относительно оси О: I₀=0,5Mr²

Рис.14

Решение. Поскольку неизвестны ни сила трения F_тр, ни нормальная реакция N, конечно следует составлять дифференциальное уравнение вращения относительно оси $C_v$.

Момент инерции тела относительно оси $C_v,$ по теореме Гюйгенса-Штейнера, $I_{C_v}=I_C+M{a}^2$, а I₀=I_C+Me², поэтому $I_{C_v}=I_0+M{(a}^2-e^2)$.

$Расстояниеa=C{C}_v=\sqrt{e^2+r^2-2ercos\phi },$

$Производная\dot{a}=\frac{da}{dt}=\frac{2er\dot{\phi }sin\phi }{2\sqrt{e^2+r^2-2ercos\phi }}=\frac{er}{a}\dot{\phi }sin\phi .$

Количество движения $K=\frac{P}{g}{v}_c=\frac{p}{g}a\dot{\phi }.$

Составляем дифференциальное уравнение:

$[I_0+M(a^2-e^2\left)\right]\ddot{\phi }+\frac{P}{g}a{\dot{\phi }}^2\frac{er}{a}sin\phi =-Pesin\phi$

$или\left[\frac{1}{2}\frac{P}{g}{r}^2+\frac{P}{g}\left(a^2-e^2\right)\right]\ddot{\phi }+\frac{P}{g}er{\dot{\phi }}^{2}sin\phi +Pesin\phi =0.$

После подстановки значения a, получим

$\left(3r-4ecos\phi \right)\ddot{\phi }+2e\left({\dot{\phi }}^2+\frac{g}{r}\right)sin\phi =0;$

и, окончательно, подставив значение $e=\frac{4r}{3\pi }$,

$\left(9\pi -16cos\phi \right)r\ddot{\phi }+8\left(r{\dot{\phi }}^2+g\right)sin\phi =0.$