Задача 35. Стержень качался как маятник, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг шарнира О

Задача 35. Стержень качался как маятник, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг шарнира О (рис.15). В момент, когда стержень был в вертикальном положении и угловая скорость его была ${\omega }_0$, шарнир разрушился. Определим дальнейшее движение стержня.

Решение. Стержень начнет совершать плоскопараллельное движение. На рис.62 показано его промежуточное положение.

Рис.15

Составим дифференциальные уравнения движения.

$\frac{P}{g}{\ddot{x}}_C=0,\frac{P}{g}{\ddot{y}}_C=P,J_C\ddot{\phi }=0или{\ddot{x}}_C=0,{\ddot{y}}_C=g,\ddot{\phi }=0.$

Интегрируем их дважды:

$\left\{\begin{array}{c}{\dot{x}}_C=C_1,\\ {\dot{y}}_C=gt+D_1,\\ \dot{\phi }=B_1,\end{array}\right)и\left\{\begin{array}{c}{x}_C=C_{1}t+C_2,\\ y_C=\frac{1}{2}g{t}^2+D_{1}t+D_2,\\ \phi =B_{1}t+B_2.\end{array}\right)$

Начальные условия: при t = 0

$x_C=0,y_C=\frac{l}{2},{\dot{x}}_C=v_C=\frac{1}{2}l{\omega }_0,{\dot{y}}_C=0,\dot{\phi }={\omega }_0.$

Подставив их в последние шесть уравнений, получим $C_1=\frac{1}{2}l{\omega }_0,C_2=0,D_1=0,D_2=\frac{1}{2}l,B_1={\omega }_0,B_2=0.$

Тогда уравнения плоскопараллельного движения стержня

$x_C=\frac{1}{2}l{\omega }_{0}t;y_C=\frac{1}{2}g{t}^2+\frac{1}{2}l;\phi ={\omega }_{0}t.$

Например, стержень займет горизонтальное положение, $\phi =\frac{\pi }{2}$, в момент $t=\frac{1}{2}\frac{\pi }{{\omega }_0},$ когда центр масс его будет в точке с координатами $x_C=\frac{1}{4}\pi l,y_C=\frac{1}{8}({\pi }^2\frac{g}{{\omega }_0^2}+4l)$