Задача 36. На гладкое проволочное кольцо радиуса R надет маленький шарик. Кольцо вместе с шариком вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца, с угловой скоростью ω. Где находится шарик?

Задача 36. На гладкое проволочное кольцо радиуса R надет маленький шарик. Кольцо вместе с шариком вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца, с угловой скоростью ω. Где находится шарик?

Решение. Решение этой задачи можно осуществить, применяя разные системы отсчета — как инерциальную (ИСО), связанную с Землей, так и неинерциальную (НИСО), связанную с кольцом; различным может быть и выбор осей координат. Чтобы показать, что в любом случае состав операций, приведенный в алгоритмическом предписании, не зависит от выбора системы отсчета, будем указывать их номера.

Решение задачи в ИСО

1. Рассмотрим решение этой задачи в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей (рис.16).

.............

Рис.16

2. Шарик можно рассматривать как материальную точку, которая вращается вместе с кольцом с угловой скоростью ω.

3. На шарик действуют две силы: сила тяжести со стороны Земли mg и реакция кольца N. Поскольку по условию задачи кольцо гладкое, силой трения можно пренебречь.

4. Второй закон Ньютона в векторной форме имеет вид

ma=mg+N.

5. Шарик движется по окружности радиуса r=R∙sinα с постоянной угловой скоростью ω. Его ускорение равно

a=ω2r=ω2Rsinα                            (1)

и направлено к центру окружности C. Совместим с вектором ускорения ось х, ось у направим вертикально вверх, как показано на рисунке.

6. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

x:   ma=Nsinα,                                    (2)

y:     0=mg+Ncosα.                      (3)

7. Из (3) находим N=mgcosα... Подставляя это выражение и формулу (1) в уравнение (2), получаем

mω2Rsinα=mgcosα..sinα,

sinα(ω2Rcosαg)=0.

Из полученного уравнения находим следующие условия равновесия:

sinα=0,           ω2Rcosαg=0.

Это означает, что при вращении с малой угловой скоростью (ω2Rg) шарик подниматься не будет, равновесие соответствует значению α1=0. При вращении с большой угловой скоростью (ω2R>g), что эквивалентно условию cosα<1, равновесное положение соответствует углу α2=arccosgω2R...

Решение задачи в НИСО

1. Рассмотрим решение этой же задачи в неинерциальной системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ω (рис.17). В этой системе отсчета шарик покоится.

...............

Рис.17

2. Кроме реальных сил взаимодействия, действующих на шарик — силы тяжести mg и нормального давления N, следует ввести центробежную силу инерции Fцб, величина которой равна

Fцб=mω2r=mω2Rsinα.                       (1)

Шарик не движется относительно кольца, следовательно, его ускорение равно нулю.

3. Второй закон Ньютона превращается в условие равновесия шарика в системе отсчета, связанной с кольцом:

mg+N+Fцб=0.

4. Спроектируем векторное уравнение на тангенциальное τ (касательное к окружности) и нормальное n (перпендикулярное касательной) направления.

n:    NmgcosαFцбsinα=0,

τ:             mgsinαFцбcosα=0,

или с учетом (1)

Nmgcosαmω2Rsin2α=0,                              (2)

mgsinαmω2Rsinαcosα=0.                                (3)

Из уравнения (3) получим те же условия равновесия, что и ранее:

sinα=0,        gω2Rcosα=0,

откуда

α1=0,         α2=arccosgω2R...

Оцените
Добавить комментарий