Задача 37. Внутри конуса, установленного в ракете, поднимающейся вертикально вверх с ускорением а0, находится небольшое тело

Задача 37. Внутри конуса, установленного в ракете, поднимающейся вертикально вверх с ускорением а₀, находится небольшое тело (рис.18). Конус имеет при вершине угол 2α и вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. На каком максимальном расстоянии l от вершины конуса будет находиться тело, если коэффициент трения между телом и поверхностью конуса равен μ? Ось конуса совпадает с продольной осью ракеты.

..............

Рис.18

Решение.

1. Система отсчета (наблюдатель находится на конусе) — неинерциальная. Относительно наблюдателя на Земле она движется вверх с ускорением а₀ и вращается с угловой скоростью ω.

2. Тело (материальная точка) неподвижна относительно конуса, вместе с конусом вращается, а вместе с ракетой движется равноускоренно с ускорением а₀.

3. На тело кроме реальных сил взаимодействия — силы тяжести mg, нормального давления N и силы трения F_тр,

$F_{тр}=\mu N,\left(1\right)$

следует ввести центробежную силу инерции F_цб, величина которой равна

$F_{цб}=m{\omega }^{2}r=m{\omega }^{2}lsin\alpha .\left(2\right)$

и силу инерции, связанную с поступательным прямолинейным движением системы отсчета: F_ин = — mа₀. Модуль этой силы равен

$F_{ин}=m{a}_0.\left(3\right)$

Тело в выбранной системе отсчета неподвижно, его ускорение равно нулю.

4. Второй закон Ньютона превращается в условие равновесия:

$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{тр}+{\overrightarrow{F}}_{цб}+{\overrightarrow{F}}_{ин}=0.$

5. Далее решение задачи очевидно: проектировать векторное уравнение на оси координат и разрешать полученную систему алгебраических уравнений. Оси координат указаны на рисунке.

6. Второй закон Ньютона в проекциях на оси координат имеет вид

$x:-Ncos\alpha +F_{тр}sin\alpha +F_{цб}=0,\left(4\right)$

$y:-mg+N\bullet sin\alpha +F_{тр}cos\alpha -F_{ин}=0.\left(5\right)$

7. Подставляя в уравнения (4) — (5) выражения (1) — (3), разрешаем систему относительно радиуса окружности

$r=\frac{(g+a)(cos\alpha +\mu sin\alpha )}{{\omega }^2(sin\alpha -\mu cos\alpha )}.$

Следовательно, расстояние от вершины конуса до тела равно

$l=\frac{r}{sin\alpha }=\frac{(g+a)(cos\alpha +\mu sin\alpha )}{{\omega }^{2}sin\alpha (sin\alpha -\mu cos\alpha )}.$