Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m.

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 2.5к.

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m. Ее момент инерции относительно собственной оси $J = β m R^{2}$ , где β — числовой коэффициент, R — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с помощью постоянной силы F, направленной под углом α к горизонту. Найти модуль и направление ускорения оси катушки.

Решение. Рассмотрим два варианта решения этой задачи. Во-первых, движение катушки можно считать наложением двух видов движения: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси симметрии. Соответственно, записываются два динамических закона: уравнение движения центра масс и уравнение динамики вращательного движения. Во-вторых, движение катушки можно представить как чисто вращательное движение вокруг мгновенной оси О, проходящей через точки касания катушки о горизонтальную поверхность. В этом случае достаточно одного динамического уравнения — уравнения вращательного движения.

Обратимся к первому варианту решения задачи. Движение катушки можно считать наложением двух видов движения: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси симметрии.

Выбираем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m .............

Рис.19

На катушку действуют Земля с силой тяжести mg, нить с силой F и горизонтальная поверхность с силами нормального давления N и трения F_тр.

Поскольку катушка движется без проскальзывания, то $F_{т р} \neq μ N .$

Рассмотрим поступательное движение. Уравнение движения центра масс в векторной форме имеет вид

$m {\to a}_{c} = m \to g + \to F + \to N + {\to F}_{т р} .$

Оси координат указаны на рис.19. Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

$x : m a_{c} = F c o s α - F_{т р}, (1)$

$y : 0 = - m g + F s i n α + N . (2)$

Рассмотрим вращательное движение. Уравнение динамики вращательного движения катушки относительно ее оси в векторной форме имеет вид

$J \to ε = {- \to M}_{m g} + {- \to M}_{F} + {- \to M}_{N} + {- \to M}_{F_{т р}} .$

Моменты сил F и F_тр направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны. Поэтому $M_{F_{т р}} = F_{т р} R, M_{F} = - F r .$ Учитывая, что M_mg=0, M_N=0, J=mR², запишем уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось z, направленную вдоль оси вращения “от нас”:

$z : β m R^{2} ε = F_{т р} R - F r . (3)$

Составим уравнение, связывающее кинематические величины, входящие в уравнения (1) и (3), a_c и ε. Для этого изобразим катушку в двух состояниях.

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m ......

Рис.20

Из рис.20 видно, что перемещение центра катушки s_c при отсутствии проскальзывания равно длине дуги, на которую опирается угол поворота катушки φ вокруг оси С. Следовательно,

$s_{c} = φ R .$

Продифференцируем это выражение дважды по времени

$\frac{d^{2} s_{c}}{d t^{2}} = \frac{d^{2} φ}{d t^{2}} R .$

Учитывая определения линейного и углового ускорений

$a_{c} = \frac{d^{2} s_{c}}{d t^{2}}, ε = \frac{d^{2} φ}{d t^{2}},$

получим уравнение кинематической связи:

$a_{c} = ε R . (4)$

Систему уравнений (1) — (4) нетрудно разрешить относительно искомой величины:

$a_{c} = \frac{F}{m} ∙ \frac{c o s α - \frac{r}{R}}{1 + β} .$

Анализ полученного выражения приводит к заключению, что при $c o s α > \frac{r}{R}$ ускорение оси катушки a_c>0 и катушка движется в направлении оси х. При $c o s α < \frac{r}{R}$ ускорение a_c<0 и катушка движется в противоположном направлении. При $c o s α = \frac{r}{R}$ катушка покоится a_c=0.

Рассмотрим второй вариант решения задачи — катушка вращается вокруг мгновенной оси О (рис.21).

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m ..........

Рис.21

Относительно этой оси моменты силы тяжести mg, силы нормального давления N и силы трения F_тр равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через мгновенную ось. Уравнение динамики вращательного движения примет вид

$J_{0} ε = M_{F} = F d, (5)$

где J₀ — момент инерции относительно оси О. По теореме Штейнера

$J_{0} = J + m R^{2} = β m R^{2} + m R^{2} = m R^{2} (β + 1) . (6)$

Плечо d силы F находим геометрически. Из треугольника ACD выразим гипотенузу CD через прилежащий катет AC = r:

$C D = \frac{r}{c o s α} .$

Затем находим $O D = R - C D = R - \frac{r}{c o s α},$ а из треугольника OBD

$d = O D c o s α = R (c o s α - \frac{r}{R}) . (7)$

Подставляя (6) и (7) в (5), получаем

$(β + 1) m R^{2} ε = F R (c o s α - \frac{r}{R}),$

откуда выражаем угловое ускорение

$ε = \frac{F}{m R} ∙ \frac{c o s α - \frac{r}{R}}{1 + β} .$

Ускорение центра масс катушки a_c является тангенциальным ускорением точки С при вращении вокруг оси О, оно связано с угловым ускорением ε соотношением: $a_{c} = ε R$ . Следовательно, мы получаем прежнее выражение для ускорения центра масс

$a_{c} = \frac{F}{m} ∙ \frac{c o s α - \frac{r}{R}}{1 + β} .$

Данный способ описания облегчает анализ направления движения. Действительно, если линия действия силы проходит выше мгновенной оси О $(c o s α > \frac{r}{R})$ , то момент силы F вызывает вращение по часовой стрелке, катушка движется вправо (рис.22).

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m ..................

Рис.22

Если же линия действия силы проходит ниже оси О $(c o s α < \frac{r}{R})$ , момент силы F вызывает вращение против часовой стрелки, катушка движется влево.

Если линия действия силы F проходит через мгновенную ось О, катушка неподвижна, т.к. момент силы равен нулю. Из рисунка видно, что равновесию соответствует угол α, удовлетворяющий условию $c o s α = \frac{r}{R},$ что согласуется с ранее полученным результатом.