Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m. Ее момент инерции относительно собственной оси J=βmR2, где β — числовой коэффициент, R — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с помощью постоянной силы F, направленной под углом α к горизонту. Найти модуль и направление ускорения оси катушки.

Решение. Рассмотрим два варианта решения этой задачи. Во-первых, движение катушки можно считать наложением двух видов движения: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси симметрии. Соответственно, записываются два динамических закона: уравнение движения центра масс и уравнение динамики вращательного движения. Во-вторых, движение катушки можно представить как чисто вращательное движение вокруг мгновенной оси О, проходящей через точки касания катушки о горизонтальную поверхность. В этом случае достаточно одного динамического уравнения — уравнения вращательного движения.

Обратимся к первому варианту решения задачи. Движение катушки можно считать наложением двух видов движения: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси симметрии.

Выбираем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m.............

Рис.19

На катушку действуют Земля с силой тяжести mg, нить с силой F и горизонтальная поверхность с силами нормального давления N и трения Fтр.

Поскольку катушка движется без проскальзывания, то FтрμN.

Рассмотрим поступательное движение. Уравнение движения центра масс в векторной форме имеет вид

mac=mg+F+N+Fтр.

Оси координат указаны на рис.19. Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

x:     mac=FcosαFтр,                        (1)

y:       0=mg+Fsinα+N.               (2)

Рассмотрим вращательное движение. Уравнение динамики вращательного движения катушки относительно ее оси в векторной форме имеет вид

Jε=Mmg+MF+MN+MFтр.

Моменты сил F и Fтр направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны. Поэтому MFтр=FтрR,   MF=Fr. Учитывая, что Mmg=0, MN=0, J=mR2, запишем уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось z, направленную вдоль оси вращения “от нас”:

z:        βmR2ε=FтрRFr.                  (3)

Составим уравнение, связывающее кинематические величины, входящие в уравнения (1) и (3), ac и ε. Для этого изобразим катушку в двух состояниях.

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m......

Рис.20

Из рис.20 видно, что перемещение центра катушки sc при отсутствии проскальзывания равно длине дуги, на которую опирается угол поворота катушки φ вокруг оси С. Следовательно,

sc=φR.

Продифференцируем это выражение дважды по времени

d2scdt2..=d2φdt2..R.

Учитывая определения линейного и углового ускорений

ac=d2scdt2..,          ε=d2φdt2..,

получим уравнение кинематической связи:

ac=εR.                              (4)

Систему уравнений (1) — (4) нетрудно разрешить относительно искомой величины:

ac=Fm..cosαrR..1+β...

Анализ полученного выражения приводит к заключению, что при cosα>rR.. ускорение оси катушки ac>0 и катушка движется в направлении оси х. При cosα<rR.. ускорение ac<0 и катушка движется в противоположном направлении. При cosα=rR.. катушка покоится ac=0.

Рассмотрим второй вариант решения задачи — катушка вращается вокруг мгновенной оси О (рис.21).

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m..........

Рис.21

Относительно этой оси моменты силы тяжести mg, силы нормального давления N и силы трения Fтр равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через мгновенную ось. Уравнение динамики вращательного движения примет вид

J0ε=MF=Fd,                           (5)

где J0 — момент инерции относительно оси О. По теореме Штейнера

J0=J+mR2=βmR2+mR2=mR2(β+1).                (6)

Плечо d силы F находим геометрически. Из треугольника ACD выразим гипотенузу CD через прилежащий катет AC = r:

CD=rcosα...

Затем находим OD=RCD=Rrcosα.., а из треугольника OBD

d=ODcosα=R(cosαrR..).                                     (7)

Подставляя (6) и (7) в (5), получаем

(β+1)mR2ε=FR(cosαrR..),

откуда выражаем угловое ускорение

ε=FmR..cosαrR..1+β...

Ускорение центра масс катушки ac является тангенциальным ускорением точки С при вращении вокруг оси О, оно связано с угловым ускорением ε соотношением: ac=εR. Следовательно, мы получаем прежнее выражение для ускорения центра масс

ac=Fm..cosαrR..1+β...

Данный способ описания облегчает анализ направления движения. Действительно, если линия действия силы проходит выше мгновенной оси О (cosα>rR..), то момент силы F вызывает вращение по часовой стрелке, катушка движется вправо (рис.22).

Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m..................

Рис.22

Если же линия действия силы проходит ниже оси О (cosα<rR..), момент силы F вызывает вращение против часовой стрелки, катушка движется влево.

Если линия действия силы F проходит через мгновенную ось О, катушка неподвижна, т.к. момент силы равен нулю. Из рисунка видно, что равновесию соответствует угол α, удовлетворяющий условию cosα=rR.., что согласуется с ранее полученным результатом.

Оцените
Добавить комментарий