Задача 39. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит катушка ниток массы m. Ее момент инерции относительно собственной оси J=βmR2, где β — числовой коэффициент, R — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с помощью постоянной силы F, направленной под углом α к горизонту. Найти модуль и направление ускорения оси катушки.
Решение. Рассмотрим два варианта решения этой задачи. Во-первых, движение катушки можно считать наложением двух видов движения: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси симметрии. Соответственно, записываются два динамических закона: уравнение движения центра масс и уравнение динамики вращательного движения. Во-вторых, движение катушки можно представить как чисто вращательное движение вокруг мгновенной оси О, проходящей через точки касания катушки о горизонтальную поверхность. В этом случае достаточно одного динамического уравнения — уравнения вращательного движения.
Обратимся к первому варианту решения задачи. Движение катушки можно считать наложением двух видов движения: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси симметрии.
Выбираем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.
Рис.19
На катушку действуют Земля с силой тяжести mg, нить с силой F и горизонтальная поверхность с силами нормального давления N и трения Fтр.
Поскольку катушка движется без проскальзывания, то Fтр≠μN.
Рассмотрим поступательное движение. Уравнение движения центра масс в векторной форме имеет вид
m→ac=m→g+→F+→N+→Fтр.
Оси координат указаны на рис.19. Спроектируем векторное уравнение на оси координат:
x: mac=Fcosα−Fтр, (1)
y: 0=−mg+Fsinα+N. (2)
Рассмотрим вращательное движение. Уравнение динамики вращательного движения катушки относительно ее оси в векторной форме имеет вид
J→ε=−→Mmg+−→MF+−→MN+−→MFтр.
Моменты сил F и Fтр направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны. Поэтому MFтр=FтрR, MF=−Fr. Учитывая, что Mmg=0, MN=0, J=mR2, запишем уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось z, направленную вдоль оси вращения “от нас”:
z: βmR2ε=FтрR−Fr. (3)
Составим уравнение, связывающее кинематические величины, входящие в уравнения (1) и (3), ac и ε. Для этого изобразим катушку в двух состояниях.
Рис.20
Из рис.20 видно, что перемещение центра катушки sc при отсутствии проскальзывания равно длине дуги, на которую опирается угол поворота катушки φ вокруг оси С. Следовательно,
sc=φR.
Продифференцируем это выражение дважды по времени
d2scdt2=d2φdt2R.
Учитывая определения линейного и углового ускорений
ac=d2scdt2, ε=d2φdt2,
получим уравнение кинематической связи:
ac=εR. (4)
Систему уравнений (1) — (4) нетрудно разрешить относительно искомой величины:
ac=Fm∙cosα−rR1+β.
Анализ полученного выражения приводит к заключению, что при cosα>rR ускорение оси катушки ac>0 и катушка движется в направлении оси х. При cosα<rR ускорение ac<0 и катушка движется в противоположном направлении. При cosα=rR катушка покоится ac=0.
Рассмотрим второй вариант решения задачи — катушка вращается вокруг мгновенной оси О (рис.21).
Рис.21
Относительно этой оси моменты силы тяжести mg, силы нормального давления N и силы трения Fтр равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через мгновенную ось. Уравнение динамики вращательного движения примет вид
J0ε=MF=Fd, (5)
где J0 — момент инерции относительно оси О. По теореме Штейнера
J0=J+mR2=βmR2+mR2=mR2(β+1). (6)
Плечо d силы F находим геометрически. Из треугольника ACD выразим гипотенузу CD через прилежащий катет AC = r:
CD=rcosα.
Затем находим OD=R−CD=R−rcosα, а из треугольника OBD
d=ODcosα=R(cosα−rR). (7)
Подставляя (6) и (7) в (5), получаем
(β+1)mR2ε=FR(cosα−rR),
откуда выражаем угловое ускорение
ε=FmR∙cosα−rR1+β.
Ускорение центра масс катушки ac является тангенциальным ускорением точки С при вращении вокруг оси О, оно связано с угловым ускорением ε соотношением: ac=εR. Следовательно, мы получаем прежнее выражение для ускорения центра масс
ac=Fm∙cosα−rR1+β.
Данный способ описания облегчает анализ направления движения. Действительно, если линия действия силы проходит выше мгновенной оси О (cosα>rR), то момент силы F вызывает вращение по часовой стрелке, катушка движется вправо (рис.22).
Рис.22
Если же линия действия силы проходит ниже оси О (cosα<rR), момент силы F вызывает вращение против часовой стрелки, катушка движется влево.
Если линия действия силы F проходит через мгновенную ось О, катушка неподвижна, т.к. момент силы равен нулю. Из рисунка видно, что равновесию соответствует угол α, удовлетворяющий условию cosα=rR, что согласуется с ранее полученным результатом.