Задача 40. Наклонная доска, составляющая с горизонтом угол 60°, приставлена к горизонтальному столу

Задача 40. Наклонная доска, составляющая с горизонтом угол 60°, приставлена к горизонтальному столу (рис.25). Два груза массой по 1 кг каждый соединены легкой нитью, перекинутой через невесомый блок, и могут перемещаться соответственно по доске и столу. Найти силу натяжения нити a и ускорение системы T, если коэффициент трения тел о поверхность доски и стола одинаков и равен 0,3.

Дано: m₁=m₂=m=1 кг, α=60°, μ=0,3

Рис.25

Решение. На рисунке укажем все силы, действующие на каждое тело.

Уравнение движения для любого тела $m\overrightarrow{a}={\sum }_{i=1}^N{\overrightarrow{F}}_i.$

В проекциях на оси Х и Y:

I тело

x: ma=mg∙sinα — T-F_тр1

y: N₁-mg∙cosα=0,

но  F_тр1=μN₁=μmg∙cosα, тогда

ma=mg∙sinα — T- μmg∙cosα. (1)

II тело

x: ma= T-F_тр1

y: N₂-mg =0,

но F_тр2=μN₂=μmg, тогда

ma= T- μmg. (2)

Решая систему уравнений (1) и (2),получим

$a=\frac{mg\bullet sin\alpha -mg(\mu +\mu cos\alpha )}{2m}=\frac{g\bullet sin\alpha -g\mu (1+cos\alpha )}{2};$

T=m(a+μg).

a=2 м/с; Т=5 Н.