Задача 42. Три груза массами m1, m2,m3 соединены невесомыми нерастяжимыми нитями

Задача 42. Три груза массами $m_1,m_2,m_3$ соединены невесомыми нерастяжимыми нитями (рис. 27). Нити переброшены через невесомые блоки, закрепленные на трапециевидном твердом теле ABCD массы $m_4$. Первый груз перемещается вниз по закону $h\left(t\right)=a{t}^2(a=const)$, приводя в движение всю систему. Определить закон движения тела ABCD вдоль гладкой горизонтальной плоскости и его давление на эту плоскость. Угол BAD равен $\alpha$, в начальный момент времени система покоилась.

Рис.27

Решение. На данную систему (тело ABCD с закрепленными на нем блоками и грузами, соединенными нитями) действуют следующие внешние силы: вес тела $m_{4}g$, веса грузов $m_{1}g,m_{2}g,m_{3}g$ и сила нормальной реакции гладкой плоскости N (см. рис. 27). Согласно теореме о движении центра масс,

$M{a}_C=m_{1}g+m_{2}g+m_{3}g+m_{4}g+N$                                                (1)

где $M=m_1+m_2+m_3+m_4$.

В проекции на горизонтальную ось Ox соотношение (1) дает: $M{\ddot{x}}_C=0$. Следовательно, ${\dot{x}}_C=C_1$. Постоянная C₁=0, так как в начальный момент времени система покоилась. Но тогда х_с = const или х_с(t) = х_с(0) для любого момента времени t, следовательно,

$m_1{x}_1\left(t\right)+m_2{x}_2\left(t\right)+m_3{x}_3\left(t\right)+m_4{x}_4\left(t\right)=$

$=m_1{x}_1\left(0\right)+m_2{x}_2\left(0\right)+m_3{x}_3\left(0\right)+m_4{x}_4\left(0\right),\left(2\right)$

где $x_1,x_2,x_2,x_4$ – абсциссы центров масс грузов и тела.

Выберем начало O системы координат Oxy так, чтобы $x_4\left(0\right)=0$, т.е. так, что ось Oy проходит через центр масс тела ABCD в начальный момент времени. В этой системе отсчета координаты грузов и тела связаны соотношениями

$x_1\left(t\right)=x_1\left(0\right)+x_4\left(t\right),$

$x_2\left(t\right)=x_2\left(0\right)+h\left(t\right)+x_4\left(t\right),$

$x_3\left(t\right)=x_3\left(0\right)+h\left(t\right)cos\alpha +x_4\left(t\right)$.

Подставляя эти соотношения в уравнение (2), получим закон движения тела ABCD: $x_4\left(t\right)=-(m_2+m_{3}cos\alpha )a{t}^2/M$. Знак «минус» означает, что призма перемещается влево относительно плоскости.

Давление тела ABCD на плоскость с точностью до знака совпадает с нормальной реакцией плоскости. Уравнение для ее определения получается, если спроектировать (1) на ось $Oy:M{\dot{y}}_C=Mg+N$. Откуда

$N=M{\dot{y}}_C+Mg,$                           (3)

где ордината центра масс системы определяется соотношением

My_c = m₁y₁ + m₂y₂ + m₃y₃ + m₄y₄.                                                   (4)

Здесь $y_1,y_2,y_2,y_4$ – ординаты центров масс грузов и тела. Для нахождения y_c продифференцируем дважды по времени равенство (4), учитывая, что

$y_1\left(t\right)=y_1\left(0\right)-h\left(t\right),y_2\left(t\right)=y_2\left(0\right)$,

$y_3\left(t\right)=y_3\left(0\right)+h\left(t\right)sin\alpha ,y_4\left(t\right)=y_4\left(0\right)$.

Подставляя полученное в уравнение (3), находим

$N\left(t\right)=Mg-2m_{1}a+2m_{3}asin\alpha$.