Задача 44. Тележка с песком движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы F

Задача 44. Тележка с песком движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ (кг/с). Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m0 и скорость ее была равна нулю. Трением пренебречь.
Решение. В этих примерах рассматривается движение тел переменной массы, в первой задаче движущаяся масса возрастает, во второй — уменьшается. В обоих примерах тела движутся под действием постоянной силы при отсутствии трения. Для тел переменной массы обычно применяют второй закон Ньютона в виде
dpdt..=F.

Отметим, что в данном случае это уравнение записано для тележки (или платформы) с песком. Однако необходимо обсудить, что влияет на изменение импульса в первом и во втором случаях.

Поскольку бункер неподвижен (пример 16), песок, ссыпаясь вертикально на платформу, не изменяет ее горизонтального импульса. Импульс платформы с песком изменяется (возрастает) благодаря действию постоянной силы F. Изменение импульса за время dt равно dp=Fdt. Интегрирование этого соотношения дает p-p0=F(t-t0) или, учитывая, что в начальный момент времени платформа покоилась (t0=0, p0=0), p=Ft. Отсюда v=pm..=Ftm... Учитывая зависимость массы от времени m=m0+μt, получаем

v=Ftm0+μt..=Ftm0(1+μm0..t)...

Используя определение ускорения a=dvdt.., находим его зависимость от времени

a=Fm0(1+μm0..t)2...

Во второй задаче (пример 17) импульс тележки с песком изменяется не только вследствие действия силы, часть импульса “уносится” вместе с высыпающимся песком, который перестает “принадлежать” тележке. Если в момент времени t тележка (и песок, находящийся на ней) имели скорость v и за время dt высыпалась масса песка dm, имеющая импульс dmv, то импульс тележки за это же время изменился на

dp=Fdt+dmv.

В данном случае dm — величина отрицательная (масса песка на тележке убывает), высыпание песка из движущейся тележки приводит к уменьшению импульса на dmv, сила, действующая в направлении движения, увеличивает импульс тележки на величину, равную Fdt.

Из определения импульса p=mv следует, что его изменение

dp=dm∙v+m∙dv.

Таким образом,

dm∙v+m∙dv=F∙dt+dm∙v,

откуда

dvdt..=Fm...

Учитывая зависимость массы от скорости

m=m0μt

и определение ускорения

a=dvdt..,

получаем зависимость ускорения от времени

a=Fm0(1μm0..t)...

Изменение скорости за время dt равно

dv=adt=Fm0(1μm0..t)..dt.

Интегрирование этого выражения приводит к искомой зависимости скорости от времени:

v=Fμ..ln(1μm0..t).

Оцените
Добавить комментарий