Задача 44. Тележка с песком движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы F

Задача 44. Тележка с песком движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ (кг/с). Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m₀ и скорость ее была равна нулю. Трением пренебречь.
Решение. В этих примерах рассматривается движение тел переменной массы, в первой задаче движущаяся масса возрастает, во второй — уменьшается. В обоих примерах тела движутся под действием постоянной силы при отсутствии трения. Для тел переменной массы обычно применяют второй закон Ньютона в виде
$\frac{dp}{dt}=F.$

Отметим, что в данном случае это уравнение записано для тележки (или платформы) с песком. Однако необходимо обсудить, что влияет на изменение импульса в первом и во втором случаях.

Поскольку бункер неподвижен (пример 16), песок, ссыпаясь вертикально на платформу, не изменяет ее горизонтального импульса. Импульс платформы с песком изменяется (возрастает) благодаря действию постоянной силы F. Изменение импульса за время dt равно dp=Fdt. Интегрирование этого соотношения дает p-p₀=F(t-t₀) или, учитывая, что в начальный момент времени платформа покоилась (t₀=0, p₀=0), p=Ft. Отсюда $v=\frac{p}{m}=\frac{Ft}{m}.$ Учитывая зависимость массы от времени m=m₀+μt, получаем

$v=\frac{Ft}{m_0+\mu t}=\frac{Ft}{m_0\left(1+\frac{\mu }{m_0}t\right)}.$

Используя определение ускорения $a=\frac{dv}{dt}$, находим его зависимость от времени

$a=\frac{F}{m_0{\left(1+\frac{\mu }{m_0}t\right)}^2}.$

Во второй задаче (пример 17) импульс тележки с песком изменяется не только вследствие действия силы, часть импульса “уносится” вместе с высыпающимся песком, который перестает “принадлежать” тележке. Если в момент времени t тележка (и песок, находящийся на ней) имели скорость v и за время dt высыпалась масса песка dm, имеющая импульс dmv, то импульс тележки за это же время изменился на

$dp=F\bullet dt+dm\bullet v.$

В данном случае dm — величина отрицательная (масса песка на тележке убывает), высыпание песка из движущейся тележки приводит к уменьшению импульса на dmv, сила, действующая в направлении движения, увеличивает импульс тележки на величину, равную Fdt.

Из определения импульса p=mv следует, что его изменение

dp=dm∙v+m∙dv.

Таким образом,

dm∙v+m∙dv=F∙dt+dm∙v,

откуда

$\frac{dv}{dt}=\frac{F}{m}.$

Учитывая зависимость массы от скорости

$m=m_0-\mu t$

и определение ускорения

$a=\frac{dv}{dt},$

получаем зависимость ускорения от времени

$a=\frac{F}{m_0\left(1-\frac{\mu }{m_0}t\right)}.$

Изменение скорости за время dt равно

$dv=a\bullet dt=\frac{F}{m_0\left(1-\frac{\mu }{m_0}t\right)}dt.$

Интегрирование этого выражения приводит к искомой зависимости скорости от времени:

$v=\frac{F}{\mu }ln\left(1-\frac{\mu }{m_0}t\right).$