Задача 45. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, в момент t=0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = kt, где k — постоянная.

Задача 45. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности (рис.29), в момент t=0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = kt, где k — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти скорость тела в момент отрыва от плоскости и путь, пройденный телом к этому моменту.

.........

Рис.29

Решение. Эта несложная с точки зрения применения законов динамики задача интересна тем, что в ней рассматривается результат действия переменной силы F. Возрастающая вертикальная составляющая силы F_y приводит к уменьшению силы N взаимодействия тела и горизонтальной опоры, а в момент отрыва N = 0.

На тело действует Земля с силой mg, горизонтальная опора с силой нормального давления N (сила трения пренебрежимо мала, т.к. поверхность по условию задачи гладкая) и переменная сила F, модуль которой пропорционален времени: F = kt.

По второму закону Ньютона

$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{N}.$

Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

$x:ma=kt\bullet cos\alpha ,\left(1\right)$

$y:0=-mg+N+kt\bullet sin\alpha .\left(2\right)$

Уравнение (1) позволяет найти ускорение как функцию времени:

$a=\frac{kcos\alpha }{m}t.$

Определение пути, пройденного телом, и скорости в момент отрыва — это кинематическая задача первого класса. Воспользуемся определением ускорения $a=dv/dt$ и найдем изменение скорости за время dt:

$dv=a\bullet dt=\frac{kcos\alpha }{m}tdt.$

Проинтегрируем это уравнение по времени от t = 0 до произвольного момента времени t и учтем, что начальная скорость тела v₀=0:

$v\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{kcos\alpha }{m}tdt=\frac{kcos\alpha }{2m}{t}^2.$

Установив зависимость скорости от времени, можно с помощью определения скорости $v=dx/dt$ получить зависимость координаты х от времени t.

$dx=vdt=\frac{kcos\alpha }{2m}{t}^{2}dt;$

$x\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{kcos\alpha }{2m}{t}^{2}dt=\frac{kcos\alpha }{6m}{t}^3.$

Рассмотрим момент отрыва тела от поверхности (задача четвертого класса — применение уравнений к конкретным состояниям). В уравнении (2) положим N = 0 и найдем, в какой момент времени произойдет отрыв:

$t_{отр}=\frac{mg}{ksin\alpha }.$

Подставляя это выражение в кинематические уравнения движения, получим

$v_{отр}=\frac{m{g}^{2}cos\alpha }{2k{sin}^2\alpha },x_{отр}=\frac{m^2{g}^{3}cos\alpha }{6k^2{sin}^3\alpha }.$