Задача 46. Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг оси с угловой скоростью ω0

Задача 46. Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг оси с угловой скоростью ω₀ (рис.30). Затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен μ. Найти время, в течение которого движение цилиндра будет проходить со скольжением, а также скорость, которую приобретет цилиндр к этому моменту.

......

Рис.30

Решение. Силы, действующие на цилиндр, очевидны: сила тяжести mg, сила нормального давления N и сила трения F_тр. Последняя направлена в сторону, противоположную вектору скорости в точках касания цилиндра, и тормозит его вращение.

Следует обратить внимание на следующее обстоятельство: при проскальзывании цилиндра сила трения

$F_{тр}=\mu N.$

Как только цилиндр начинает катиться без проскальзывания, это соотношение применять нельзя.

Цилиндр участвует в двух движениях: поступательном перемещении вместе с центром масс, которое описывается уравнением движения центра масс

$m{\overrightarrow{a}}_c=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{тр}.$

и вращении вокруг оси, проходящей через центр масс, для которого справедливо уравнение динамики вращательного движения

$J\overrightarrow{\epsilon }={\overrightarrow{M}}_{mg}+{\overrightarrow{M}}_{F_{тр}}+{\overrightarrow{M}}_N.$

Спроектируем векторные уравнения на оси координат:

$x:m{a}_c=F_{тр},\left(1\right)$

$y:0=-mg+N,\left(2\right)$

$z:J\epsilon =M_{F_{тр}}+M_{mg}+M_N.\left(3\right)$

Учитывая, что $J=\frac{m{R}^2}{2},M_{mg}=0,M_N=0,$ перепишем уравнение (3) в виде

$z:\frac{m{R}^2}{2}\epsilon =F_{тр}R.\left(3а\right)$

Из уравнения (2) N=mg, F_тр=μmg. Из уравнения (1)

$a_c=\frac{\mu mg}{m}=\mu g,$

из уравнения (3а)

$\epsilon =\frac{2\mu mg}{mR}=\frac{2\mu g}{R}.$

Отсутствие проскальзывания означает, что при перемещении центра цилиндра на расстояние s_c цилиндр повертывается на угол $\phi =\frac{s_c}{R}$ (рис.31).

......

Рис.31

Однократное дифференцирование этого соотношения по времени дает связь между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения

$\omega =\frac{v_c}{R}.\left(4\right)$

Поскольку при движении с постоянным ускорением законы зависимости скорости от времени известны, применим их к движению данного цилиндра. Центр масс перемещается равноускоренно, его начальная скорость равна нулю, следовательно,

$v_c=a_{c}t=\mu gt.\left(5\right)$

Вращение цилиндра является равнозамедленным, его начальная угловая скорость равна ω₀, следовательно,

$\omega ={\omega }_0-\epsilon t={\omega }_0-\frac{2\mu g}{R}t\left(6\right)$

Решая совместно систему кинематических уравнений (4)-(6), находим время, в течение которого цилиндр движется со скольжением

$t=\frac{{\omega }_{0}R}{3\mu g},$

а также скорость цилиндра, которую он приобретает к этому моменту

$v_c=\frac{{\omega }_{0}R}{3}.$