Задача 47. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, а затем отпустили

Задача 47. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, а затем отпустили (рис.32). Найти: 1) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от угла отклонения нити φ от вертикали; 2) угол φ между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения направлен горизонтально.

........

Рис.32

Решение. Шарик движется по окружности под действием постоянной силы тяжести, равной mg, и под действием переменной, зависящей от угла φ силы натяжения нити T.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}.$

В данной задаче целесообразно векторное уравнение проектировать на тангенциальное и нормальное направления:

$n:m{a}_n=T-mgcos\phi ,\left(1\right)$

$\tau :m{a}_{\tau }=mgsin\phi .\left(2\right)$

Поскольку обе составляющие ускорения зависят от угла φ, необходимо выразить их через угловые величины:

$a_n={\omega }^{2}R,$

$a_{\tau }=\epsilon R=-R\frac{d\omega }{d\phi }\frac{d\phi }{dt}=-R\omega \frac{d\omega }{d\phi }.$

(Знак “минус” связан с уменьшением угловой скорости ω при увеличении угла φ).

Решение уравнения (2) позволяет определить зависимость угловой скорости от угла. Подставляя $a_{\tau }$ в (2), приходим к дифференциальному уравнению, содержащему две разделяющиеся переменные ω и φ:

$-mR\omega \frac{d\omega }{d\phi }=mgsin\phi .$

Разделяя переменные и интегрируя от ω₀=0 до ω и от φ₀=π/2 до φ,

$\underset{0}{\overset{\omega }{\int }}\omega d\omega =-\frac{g}{R}\underset{\pi /2}{\overset{\phi }{\int }}sin\phi d\phi ,$

получаем $\frac{{\omega }^2}{2}=\frac{g}{R}cos\phi$, откуда выражаем зависимость угловой скорости от угла

$\omega =\sqrt{\frac{2g}{R}cos\phi }.$

Подставляя нормальное ускорение $a_n={\omega }^{2}R=2g\bullet cos\phi$ в формулу (1),

$T=m{a}_n+mg\bullet cos\phi =2mg\bullet cos\phi +mg\bullet cos\phi ,$

находим натяжение нити в зависимости от угла φ:

$T=3mg\bullet cos\phi .$

Подставляя выражения для нормального и тангенциального ускорений a_n=2g∙cosφ и a_τ=g∙sinφ в формулу $a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau }^2}$, получаем величину полного ускорения

$a=g\sqrt{3{cos}^2\phi +1}.$

Теперь ответим на второй вопрос задачи (рис.33). Вектор полного ускорения a направлен горизонтально при условии, что его составляющие связаны соотношением $a_n/a_{\tau }=tg\phi$. Подстановка в это выражение a_n=2g∙cosφ и a_τ=g∙sinφ приводит к условию $\frac{2g\bullet cos\phi }{g\bullet sin\phi }=tg\phi$, то есть ${tg}^2\phi =2.$

.......

Рис.33

Следовательно, вектор полного ускорения направлен горизонтально, если нить, на которой подвешен шарик, составляет с вертикалью угол, равный

$\phi =arctg\sqrt{2}.$