Задача 26. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость VC и ускорение aC. Найдем ускорение точки А.

Автор admin На чтение 2 мин Просмотров 7.4к.

Задача 26. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость $V_{C}$ и ускорение $a_{C}$ (рис. 16). Найдем ускорение точки А.

Рис.16

Решение. Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей:

$ω = \frac{V_{C}}{C C_{V}} = \frac{V_{C}}{R} .$

Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея в виду, что $C C_{V} = R = c o n s t$ , а точка С движется по прямой, получим

$ε = \frac{d ω}{d t} = \frac{d}{d t} \frac{V_{C}}{C C_{V}} = \frac{1}{R} \frac{d V_{C}}{d t} = \frac{a_{C}}{R}$

Если С – полюс, то ${\to a}_{A} = {\to a}_{C} + {\to a}_{A C}^{τ} + {\to a}_{A C}^{n}$ , где

$a_{A C}^{n} = A C ∙ ω^{2} = R \frac{V_{C}^{2}}{R^{2}} = \frac{V_{C}^{2}}{R}$

$a_{A C}^{τ} = A C ∙ ε = R \frac{a_{C}}{R} = a_{C}$ .

Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси х и у:

$a_{A x} = a_{A C}^{n} + a_{C} = \frac{V_{C}^{2}}{R} + a_{C},$

$a_{A y} = a_{A C}^{τ} = a_{C}$

Тогда $a_{A} = \sqrt{a_{A x}^{2} + a_{A y}^{2}} = \frac{1}{R} \sqrt{{(V_{C}^{2} + R a_{C})}_{C}^{2} + R^{2} a_{C}^{2}}$ .

Рис. 9.30.

Ускорение мгновенного центра скоростей $C_{V} : {\to a}_{C_{V}} = {\to a}_{C} + {\to a}_{C_{V} C}^{n} + {\to a}_{C_{V} C}^{τ}$ ,

где $a_{C_{V} C}^{n} = R ω^{2} = \frac{V_{C}^{2}}{R}; a_{C_{V} C}^{τ} = R ε = a_{C}$ .

И, так как ${\to a}_{C_{V} C}^{τ} = - {\to a}_{C}$ , ускорение ${\to a}_{C_{V}} = {\to a}_{C_{V} C}^{n}$ и $a_{C_{V}} = V_{C}^{2} / R \neq 0$ .

Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю.