Задача 27. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным, найдём ускорение точки А

Задача 27. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле  скорость  (рис.10). Длина стержня AB=l. Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.

Рис.17

Решение. Найдём ускорение точки А, полагая ${\overrightarrow{V}}_B=\overrightarrow{u}=const$ т.е. ${\overrightarrow{a}}_B=0$

Имеем:

${\overrightarrow{a}}_A={\overrightarrow{a}}_B+{\overrightarrow{a}}_{AB}^{\tau }+{\overrightarrow{a}}_{AB}^n$,        (1)

Где $a_{AB}^n=l{\omega }^2=\frac{u^2}{l{sin}^2\alpha };a_{AB}^{\tau }=l\epsilon$, но направление вектора ${\overrightarrow{a}}_{AB}^{\tau }$ неизвестно, неизвестно и угловое ускорение $\epsilon$.

Предположим, что вектор ${\overrightarrow{a}}_{AB}^{\tau }$ направлен перпендикулярно АВ, влево.

Ускорение ${\overrightarrow{a}}_A$, конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси х и у, получим:

$0=a_{AB}^{n}cos\alpha -a_{AB}^{\tau }sin\alpha$ и $-a_{A}sin\alpha =-a_{AB}^n$.

Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А

$a_A=\frac{a_{AB}^n}{sin\alpha }=\frac{u^2}{l{sin}^3\alpha }.$

Положительное значение $a_A$ указывает на то, что направление вектора ${\overrightarrow{a}}_A$ выбрано правильно.

Из первого уравнения можно найти ускорение $a_{AB}^{\tau }=a_{AB}^n\frac{cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{u^2}{l{sin}^3\alpha }cos\alpha$ и угловое ускорение $\epsilon =\frac{a_{AB}^{\tau }}{l}=\frac{u^2}{l{sin}^3\alpha }cos\alpha$ (направления ${\overrightarrow{a}}_{AB}^{\tau }$ и $\epsilon$ также угаданы верно).