Условие. Однородная балка весом Q = 600 Н и длиной l = 4 м опирается одним концом на гладкий пол, а промежуточной точкой В на столб высотой h = 3 м, образуя с вертикалью угол 30°. В таком положении балка удерживается веревкой, протянутой по полу. Определить натяжение веревки T и реакции столба RB и пола RA (рис.37,а).
Решение. Под балкой или стержнем в теоретической механике понимают тело, у которого поперечными размерами в сравнении с его длиной можно пренебречь. Таким образом, вес Q однородной балки приложен в точке С, где АС = 2 м.
Рис.37
1) Поскольку две неизвестных реакции из трех приложены в точке А, первым следует составить уравнение ΣMA = 0, так как туда войдет только реакция RB:
RB ∙АВ+ Q∙(l/2)∙sin30° = 0,
где АВ = h/cos30°= 2√3 м.
Подставляя в уравнение, получим:
RB ∙2√3 = 600∙2∙(1/2) = 600,
откуда
RB = 600/ (2√3) = 100√3 ≅ 173 Н.
Аналогично из моментного уравнения можно было бы найти и реакцию RA, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия RB и Т. Однако это потребует дополнительных построений, поэтому проще воспользоваться другими уравнениями равновесия:
2) ΣX = 0; RB ∙cos30 Т = 0; → Т = RB ∙cos30°= 100√3 ∙(√3/2) = 150 Н;
3) ΣY = 0, RB∙sin30 Q + RA = 0; → RA = Q RB∙sin30°= 600 50√3 ≅ 513 Н.
Таким образом, мы нашли Т и RA через RB , поэтому проверить правильность полученного решения можно с помощью уравнения: ΣMB = 0, куда в явном или неявном виде войдут все найденные реакции:
RA∙АВ sin30° Т∙АВ cos30° Q∙(АВ l/2)∙sin30°= 513∙2√3 ∙(1/2) 150∙2√3 ∙(√3 /2) 600∙ (2√3 2)∙(1/2) = 513∙√3 150∙3 600∙(√3 1) ≅ 513∙1,73 450 600∙0,73 = 887,5 888 = 0,5.
Полученная в результате округления невязка ∆= 0,5 называется абсолютной погрешностью вычисления.
Для того чтобы ответить на вопрос насколько точным является полученный результат, вычисляют относительную погрешность, которая определяется по формуле:
ε=[|∆| / min(|Σ+|, |Σ|)]∙100% =[|0,5| / min(|887,5|, |888|)]∙100% = (0,5/887,5)∙100% = 0,06%.